Ο νόμος των πραγματικά μεγάλων αριθμών

Ο νόμος των πραγματικά μεγάλων αριθμών λέει ότι με ένα αρκετά μεγάλο δείγμα είναι πολύ πιθανό να συμβούν πολλές περίεργες συμπτώσεις.

Για παράδειγμα, μπορεί να βλέπετε με δέος το άτομο που κέρδισε το λαχείο δυο φορές, σκεπτόμενοι ότι οι πιθανότητες να κερδίσει κάποιος το λαχείο εις διπλούν είναι αστρονομικές. Οι New York Times είχαν ένα άρθο για μια γυναίκα που κέρδισε το λαχείο του New Jersey δυο φορές, λέγοντας ότι οι πιθανότητες να συμβεί κάτι τέτοιο είναι "1 στα 17 τρισεκατομμύρια". Όμως, οι στατιστικολόγοι Stephen Samuels και George McCabe του πανεπιστημίου Purdue υπολόγισαν πως η πιθανότητα να κερδίσει κάποιος το λαχείο δυο φορές είναι περίπου 1 στα 30 για μια περίοδο τεσσάρων μηνών και καλυτερεύει αν θεωρήσουμε μια περίοδο 7 χρόνων. Γιατί; Γιατί απλά οι παίκτες δεν αγοράζουν 1 λαχείο σε κάθε κλήρωση αλλά πολλά σε κάθε εβδομάδα.( Diaconis και Mosteller)

Κάποιο άνθρωποι εκπλήσσονται όταν ανακαλύπτουν ότι υπάρχουν 16 εκατομμύρια άλλα άτομα στον πλανήτη που έχουν την ίδια ημερομηνία γέννησης. Σε ένα τυπικό ποδοσφαιρικό αγώνα με 50000 οπαδούς, οι περισσότεροι οπαδοί θα μοιράζονται την ημερομηνία γέννησης τους με 135 άλλους περευρισκομένους. (μια προφανής εξαίρεση είναι αυτοί που γεννήθηκαν στις 29 Φλεβάρη. Θα υπάρχουν μόνο 34 οπαδοί που γεννήθηκαν αυτή τη μέρα)

Ίσως να εκπλαγείτε περισσότερο από το γεγονός ότι "αν επιλέξουμε 23 τυχαίους ανθρώπους, η πιθανότητα να έχουν τουλάχιστον δυο άτομο γενέθλια την ίδια μέρα είναι 50%" ( Martin ).

Από την άλλη, μπορεί να πείτε ότι η πιθανότητα να συμβεί κάτι είναι μια στο εκατομμύριο. Τέτοιες πιθανότητες ίσως να σας φαντάζουν τόσο μεγάλες ώστε να μπορείτε να αποκλείσετε τη σύμπτωση και την τυχαιότητα. Όμως, με ένα δείγμα 6 δισεκατομμυρίων ατόμων στον κόσμο, το "μια στο εκατομμύριο" συμβαίνει αρκετά συχνά. Θεωρήστε ότι η πιθανότητα να έχει κάποιο άτομο ένα όνειρο για ένα αεροπορικό δυστύχημα και το άλλο πρωί να συντρίβεται κάποιο αεροπλάνο, είναι μια στο εκατομμύριο. Με 6 δισεκατομμύρια ανθρώπους που έχουν 250 διαφορετικά όνειρα κάθε βράδυ ο καθένας, κατά μέσο όρο (Hines, 50), πρέπει να υπάρχουν γύρω στα 1.5 εκατομμύρια άτομα κάθε μέρα όπου τα όνειρα τους είναι φαινομενικά ενορατικά. Ο αριθμός αυτός είναι πιθανό να είναι μεγαλύτερος μιας και έχουμε τη τάση να θυμόμαστε τα πράγματα που πραγματικά μας αναστατώνουν, και τα δεδομένα για τα όνειρα είναι συνήθως ασαφή και διφορούμενα, επιτρέποντας έτσι ενα μεγάλο αριθμό γεγονότων να "κολλάνε" με αυτά.(σ.τ.μτφ.: Η έννοια της πιθανότητας είναι αρκετά φευγαλέα και ασαφής αν και όλοι πάνω κάτω ξέρουμε διασθητικά τι είναι. Οι πιθανότητες από μόνες τους είναι απλά ενδεικτικές και υποδηλώνουν μια τάση ή μια ροπή των αποτελεσμάτων. Όταν π.χ. λέμε ότι κάτι έχει πιθανότητα 1 στα 40, μην περιμένετε πως αν επαναλαβετε το πείραμα 40 φορές, θα σας βγει το συγκεκριμένο αποτέλεσμα 1 φορα. Ο ορισμός της πιθανότητας λέει πως η πιθανότητα ενός γεγονότος Α, είναι ο το όριο του λόγου του αριθμού που έγινε το συμβάν Α ως προς τον συνολικό αριθμό που επαναλήφθηκε το πείραμα, καθώς ο αριθμός αυτός τείνει στο άπειρο. Και ο ορισμός αυτός όμως είναι ένα μαθηματικό κατασκεύασμα που μερικές φορές συμπεριφέρεται αλλόκοτα. Τι θα λέγατε λοιπόν αν σας έλεγα ότι η πιθανότητα να συμβεί κάποιο γεγονός, δεν είναι μια στο εκατομμύριο αλλά μηδέν; Πολλοί θα λέγατε ότι το γεγονός αυτό δεν πρόκειται να συμβεί ποτέ... και θα κάνατε λάθος. Ένα γεγονός με μηδενική πιθανότητα ΜΠΟΡΕΙ να συμβεί, όπως επίσης και ένα γεγονός με 100% πιθανότητα μπορεί να ΜΗΝ συμβεί! Αυτό είναι γνωστό σαν το παράδοξο της μηδενικής πιθανότητας και μας δείχνει πως οι χειρισμοί των πιθανοτήτων πρέπει να γίνονται προσεκτικά και με πλήρη κατανόηση για το τι ακριβώς περιγράφουμε με τις πιθανότητες.[όποιοι απορούν με αυτό, ας σκεφτούν το εξής: Ποιά η πιθανότητα να διαλέξετε ένα συγκεκριμένο σημείο πάνω σε μια γραμμή; Μιας και υπάρχουν άπειρα σημεία στη γραμμή, η πιθανότητα είναι προφανώς μηδέν.Προφανώς όμως διαλέγετε κάποιο σημείο οπότε και το συμβάν με μηδενική πιθανότητα μόλις έλαβε χώρο. Ή σκεφτείτε αυτό: πια η πιθανότητα να διαλέξετε τυχαία τον αριθμό 45 μέσα από όλους τους ακέραιους αριθμούς; Προφανώς μιας και υπάρχουν άπειροι ακέραιοι αριθμοί, η πιθανότητα να επιλέξετε τον 45 (όπως και οποιονδήποτε άλλο αριθμό) είναι μηδέν. Θα διαλέξουμε όμως σίγουρα κάποιον αριθμό οπότε και υλοποιούμε ένα γεγονός με μηδενική πιθανότητα])

"Το ότι θα συμβεί κάποιο συγκεκριμένο γεγονός ή σύμπτωση, είναι πολυ
απίθανο. Το ότι θα συμβούν κάποια αόριστα αλλά εκπληκτικά γεγονότα,
είναι σίγουρο. Γι' αυτό και οι αξιοπερίεργες συμπτώσεις αναφέρονται εκ
των υστέρων, και δεν προβλέπονται εκ των προτέρων." --David G. Myers